Équations linéaires

Les équations linéaires sont des expressions mathématiques dans lesquelles les variables apparaissent uniquement avec un exposant de 1, c'est-à-dire de manière linéaire. Elles prennent généralement la forme ax+b=0ax+b=0, où a et b sont des coefficients réels, et x est la variable inconnue. Une équation linéaire peut avoir une solution unique, aucune solution (si elle est contradictoire, comme 0x+5=0), ou une infinité de solutions (si elle est identiquement satisfaite, comme 0x=0). Ce type d'équation est fondamental en algèbre, car il constitue la base des systèmes d'équations et de nombreuses applications dans les sciences et l'ingénierie. Sa simplicité permet d'analyser des relations proportionnelles et des phénomènes de croissance constante dans divers domaines scientifiques.

Lorsqu'on étudie les systèmes d'équations linéaires, on cherche des solutions communes à plusieurs équations simultanées. Un système à deux variables peut être représenté graphiquement par l'intersection de deux droites dans un plan cartésien. Si les droites se coupent en un point, il existe une solution unique. Si elles sont parallèles, le système n'a pas de solution. Si elles sont confondues, il y a une infinité de solutions. Pour résoudre ces systèmes, on utilise des méthodes comme la substitution, l'élimination ou les matrices et la règle de Cramer. En algèbre linéaire, la résolution de systèmes plus complexes s'effectue souvent par la méthode du pivot de Gauss ou par des outils matriciels comme l'inversion de matrice.

Les équations linéaires sont largement utilisées dans les sciences appliquées, notamment en physique, en économie et en ingénierie. Par exemple, dans les circuits électriques, la loi d'Ohm est une équation linéaire reliant la tension, le courant et la résistance (V=IR). En économie, les équations linéaires modélisent l'offre et la demande, permettant d'étudier les tendances du marché. En informatique et en intelligence artificielle, elles apparaissent dans les algorithmes d'apprentissage automatique, notamment dans la régression linéaire, étant un outil de prédiction statistique fondé sur une équation linéaire entre des variables. Ainsi, bien que simples en apparence, ces équations sont des outils essentiels pour modéliser et comprendre de nombreux phénomènes du monde réel.

Équations en deux inconnues

Supposons que l'on nous donne deux équations comme :

Nous souhaitons résoudre ces équations pour x et y. Nous suivons ce que l'on appelle la méthode d'élimination. Nous essayons de nous débarrasser de x, par exemple, pour n'obtenir qu'une seule équation en y. Nous observons que x est multiplié par 2 dans la première équation et par 3 dans la seconde. Nous voulons multiplier chacune de ces équations par un nombre approprié pour que les coefficients de x deviennent les mêmes. Nous multiplions ainsi la première équation par 3 et la seconde par 2. Nous obtenons :

Si nous soustrayons maintenant la deuxième équation de la première, c'est-à-dire si nous soustrayons chaque côté de la deuxième équation du côté correspondant de la première, nous voyons que le 6x s'annule, et nous trouvons :

d'où :

Cela donne :

Nous pouvons alors résoudre x en utilisant (1), ce qui donne 2x = 1 - y . Ainsi :

Ainsi :

Notre réponse est donc :

Si nous voulons x sous sa forme la plus basse, nous pouvons toujours écrire x = y, mais 12/14 est tout à fait correct.

En variante, nous aurions aussi pu éliminer y en premier. Ainsi, nous multiplions la première équation par 2, laissons la seconde inchangée et additionnons les équations. Nous obtenons :

Ajout de rendements :

Ainsi 7x = 6 et x = y, ce qui est bien sûr la même réponse que celle que nous avons trouvée ci-dessus. Nous pourrions alors résoudre y en utilisant la première équation, à savoir :

de sorte que :

Il peut arriver qu'un système d'équations linéaires n'ait pas de solution. Par exemple le système :

n'a évidemment pas de solution. Le système :

n'a pas non plus de solution. En effet, toute solution de 6x - 3y = 7 est aussi une solution de :

divisez l'équation par 3), et il est à nouveau évident qu'aucune solution simultanée n'existe pour le système d'équations (4).

Nous ne voulons pas ici trop insister sur la théorie déterminant précisément un cas où une solution existe et un cas où elle n'existe pas. Elle existe «habituellement», à moins que l'on ait un cas essentiellement comme les exemples ci-dessus. Notre objectif ici est principalement de vous mettre à l'aise avec deux équations simples à deux inconnues, afin que vous ayez une approche simple de celles-ci. Nous n'avons pas l'intention de vous épurer à l'excès ou de vous inquiéter à leur sujet.

Lorsque vous apprendrez les coordonnées, vous verrez que les équations simultanées que nous avons étudiées représentent des lignes droites et que la recherche de leur solution simultanée donne les coordonnées du point d'intersection de ces lignes.

Une dernière remarque. Observez que notre procédure d'élimination prouve en fait que si x, y sont des nombres satisfaisant les équations simultanées, alors ils doivent avoir la valeur obtenue par la méthode indiquée. Inversement, ces valeurs pour x, y sont en fait des solutions des équations. Cela peut être vérifié explicitement à chaque fois. Le prouver en général est facile mais nécessite de mettre en place une notation pratique et d'utiliser des lettres générales pour les coefficients de l'équation. Ici, nous ne voulons pas nous enliser dans l'abstraction. L'objectif dans cette section était simplement de vous enseigner une manière simple et efficace de trouver les solutions d'un système simple d'équations.

Exemple. Une personne fait un voyage et conduit pendant 8 heures, sur une distance de 400 miles. Sa vitesse moyenne est de 60 miles par heure sur l'autoroute et de 30 miles par heure lorsqu'elle traverse une ville. Combien de temps la personne a-t-elle traversé des villes pendant son voyage ? Pour résoudre ce problème, soit x la durée du trajet sur les autoroutes et soit y la durée du trajet en ville. Alors :

Cela nous donne une première équation. De plus, la distance parcourue sur les autoroutes est égale à 60x, et la distance parcourue à travers les villes est égale à 30y. Nous obtenons donc une deuxième équation :

Nous pouvons maintenant résoudre notre paire d'équations, en multipliant la première par 60 et en soustrayant la seconde. Nous obtenons :

ou plus simplement :

Donc :

est notre réponse numérique, et la personne a conduit 8/3 h à travers les villes. C'est bien sûr la même réponse que nous avons trouvée en travaillant avec une seule variable.

Équations à trois inconnues

Nous souhaitons maintenant résoudre un système d'équations comme :

pour x, y, z. Nous suivons le même schéma que précédemment, en éliminant successivement x, y, puis en résolvant pour z. Nous choisissons l'ordre d'élimination de manière à nous faciliter la tâche. Ainsi, l'ajout des deuxième et troisième équations élimine déjà x, nous faisons donc ceci et obtenons :

ou :

On revient à (1) et on élimine x des deux premières équations. On multiplie la seconde par 3 et on l'ajoute à la première. On obtient :

ou :

Les équations (2) et (3) forment alors une paire d'équations à deux inconnues pouvant être résolues comme dans la première partie de cette page. On multiplie (2) par 5, on multiplie (3) par 2, et on additionne. On se débarrasse ainsi de y et on obtient :

donnant :

d'où :

Après avoir trouvé la valeur de z, nous pouvons revenir à (2) ou (3) pour trouver la valeur de y. Supposons que nous utilisions (2). Nous obtenons :

En divisant donc par 2, nous trouvons la valeur de y, à savoir :

Finalement, nous pouvons résoudre x en utilisant l'une des trois premières équations de (1). Supposons que nous utilisions la troisième équation. Nous avons :

La solution à notre problème est donc :