Révision d'algèbre et de trigonométrie

La révision d'algèbre et de trigonométrie est essentielle pour consolider les bases en mathématiques, notamment dans les domaines scientifiques et techniques. L'algèbre permet de manipuler des équations, des expressions et des fonctions, facilitant ainsi la résolution de problèmes complexes. Elle repose sur des concepts comme les polynômes, les équations quadratiques, les logarithmes et les matrices, intervenant en physique, en ingénierie et en informatique. La trigonométrie, quant à elle, s'intéresse aux relations entre les angles et les longueurs des triangles. Avec des notions comme le théorème de Pythagore, les identités trigonométriques et les fonctions sinus, cosinus et tangente, elle joue un rôle fondamental en géométrie analytique. Une révision efficace de ces deux disciplines permet d'acquérir une vision globale et approfondie des concepts mathématiques.

Dans le cadre des études scientifiques, l'algèbre sert à modéliser et résoudre des problèmes abstraits, en utilisant des systèmes d'équations linéaires ou encore des inégalités. La trigonométrie est quant à elle indispensable dans des domaines tels que la physique des ondes, la navigation et la cartographie, où les calculs d'angles et de distances sont primordiaux. Les transformations trigonométriques, comme les formules de somme et de différence, sont utiles pour simplifier des expressions complexes. De plus, la composé trigonométrique exponentielle relie la trigonométrie et l'algèbre grâce à l'identité d'Euler, un concept clef en analyse mathématique. Une révision rigoureuse de ces notions permet aux étudiants de mieux comprendre et appliquer les mathématiques à divers domaines.

En approfondissant la révision de ces disciplines, on développe non seulement des compétences en raisonnement logique, mais aussi une meilleure maîtrise des outils mathématiques avancés. L'algèbre et la trigonométrie sont indispensables pour aborder des sujets comme le calcul différentiel et intégral, étant omniprésents en analyse mathématique et en modélisation scientifique. La connaissance des équations trigonométriques et des fonctions périodiques permet de comprendre des phénomènes naturels comme la propagation des ondes et la rotation des corps célestes. Enfin, la révision régulière et l'application de ces concepts à des problèmes concrets améliorent la capacité à résoudre des défis mathématiques, préparant ainsi aux études supérieures et aux métiers scientifiques et technologiques.

Les nombres

Les nombres apparaissant lors des opérations d'algèbre sont de deux sortes, réels et imaginaires. Un nombre réel est un nombre dont le carré est un nombre positif. Zéro est également un nombre réel.

Un nombre imaginaire pur est un nombre dont le carré est un nombre négatif. Tout nombre de ce type se réduit à la racine carrée d'un nombre négatif et a donc la forme b √ -1, où b est un nombre réel et (√ -1)² =-1.

Un nombre imaginaire ou complexe est un nombre pouvant s'écrire sous la forme a + b √ 1, où a et b sont des nombres réels et b n'est pas zéro. Il est évident que le carré d'un nombre imaginaire est en général aussi un nombre imaginaire, puisque :

étant imaginaire si a n'est pas égal à zéro.

Les constantes

Une quantité dont la valeur reste inchangée est appelée constante.

Les constantes numériques ou absolues conservent les mêmes valeurs dans tous les problèmes, comme 2, 3, √7, π,...

Les constantes arbitraires, ou paramètres, sont des constantes auxquelles on peut attribuer n'importe quelle valeur numérique parmi un nombre illimité de valeurs, et ces valeurs attribuées sont conservées tout au long de l'enquête.

Les constantes arbitraires sont désignées par des lettres, généralement par des lettres de la première partie de l'alphabet. Afin d'augmenter le nombre de symboles à notre disposition, il est pratique d'utiliser des accents ou des indices ou les deux. Par exemple :

• En utilisant des nombres premiers,
• a' (se lisant «un nombre premier ou un premier»), a'' (se lisant «un nombre double premier ou un deuxième»), a''' (se lisant «un troisième»), sont toutes des constantes différentes.
• En utilisant des indices,
• b₁ (se lisant «b un»), b₂ (se lisant « b deux »), sont des constantes différentes.
• En utilisant les deux,
• c₁'(se lisant «c un nombre premier»), c₂'' (se lisant «c trois nombres doubles premiers»), sont des constantes différentes.

L'équation quadratique : La forme typique

Toute équation quadratique peut, en transposant et en rassemblant les termes, être écrite sous la forme typique :

où l'inconnue est notée x. Les coefficients A, B, C sont des constantes arbitraires, et peuvent avoir n'importe quelles valeurs, sauf que A ne peut être égal à zéro, car dans ce cas l'équation ne serait plus du second degré. C est appelé le terme constant.

Le membre de gauche :

s'appelle une fonction quadratique, et toute fonction quadratique peut être écrite sous cette forme typique, dans laquelle la lettre x représente l'inconnue. La quantité B² 4 AC est appelée le discriminant de (1) ou (2), et est notée Δ.

Autrement dit, le discriminant Δ d'une équation quadratique ou quadratique de la forme typique est égal au carré du coefficient de la première puissance de l'inconnue diminué de quatre fois le produit du coefficient de la seconde puissance de l'inconnue par le terme constant.

Les racines d'une équation quadratique sont les nombres rendant l'équation quadratique égale à zéro lorsqu'elles sont substituées à l'inconnue. Les racines de l'équation quadratique (2) sont également dites racines de l'équation quadratique (1). On dit qu'une racine d'une équation quadratique satisfait cette équation.

En algèbre, il est démontré que (2) ou (1) a deux racines, x₁ et x₂, obtenues en résolvant (1), à savoir :

En additionnant ces valeurs, nous avons :

La multiplication donne :

D'où

Le théorème I : La somme des racines d'une équation du second degré est égale au coefficient de la première puissance de l'inconnue avec son signe changé divisé par le coefficient de la seconde puissance. Le produit des racines est égal au terme constant divisé par le coefficient de la seconde puissance.

Le quadratique (2) peut s'écrire sous la forme :

comme on peut facilement le montrer en multipliant le membre de droite et en le remplaçant par (4) et (5).

Par exemple, puisque les racines de 3x₂ - 4x + 1 = 0 sont 1 et 1/3, nous avons identiquement 3x²-4x + 1 ≡ 3(x - 1) (x - 1/3).

Le caractère des racines x₁ et x₂ en tant que nombres (§ 1) lorsque les coefficients A, B, C sont des nombres réels dépend évidemment entièrement du discriminant. Cette dépendance est énoncée dans :

Le théorème II : Si les coefficients d'une fonction du second degré sont des nombres réels, et si le discriminant est noté Δ, alors :

• quand Δ est positif les racines sont réelles et inégales;
• quand Δ est nul les racines sont réelles et égales;
• quand Δ est négatif les racines sont imaginaires.

Le signe ≡ se lit «est identique à» et signifie que les deux expressions reliées par ce signe ne diffèrent que par la forme.

Dans les trois cas distingués par le théorème II, l'équation quadratique peut être écrite sous trois formes dans lesquelles seuls les nombres réels apparaissent. Ce sont :

La dernière identité est prouvée ainsi :

ajouter et soustraire B²/4A² entre parenthèses :

Équations quadratiques spéciales

Si l'un ou les deux coefficients B et C de (1), L'équation quadratique : La forme typique, sont zéros, on dit que l'équation quadratique est spéciale.

CAS I. C = 0.

L'équation (1) devient alors, en factorisant :

Les racines sont donc x₁ = 0, x₂ = - B/A. Par conséquent, une racine d'une équation quadratique est nulle si le terme constant de cette équation est nul. Et inversement, si zéro est une racine d'une équation quadratique, le terme constant doit disparaître. Car si x = 0 satisfait (1), L'équation quadratique : La forme typique, par substitution nous avons C = 0.

CAS II. B = 0.

L'équation (1), L'équation quadratique : La forme typique, devient alors :

D'après le théorème I, L'équation quadratique : La forme typique, x1 + x2 = 0, c'est-à-dire :

Par conséquent, si le coefficient de la première puissance de l'inconnue dans une équation quadratique est nul, les racines sont égales numériquement mais ont des signes opposés. Inversement, si les racines d'une équation quadratique sont égales numériquement mais de signes opposés, alors le coefficient de la première puissance de l'inconnue doit disparaître. En effet, puisque la somme des racines est nulle, nous devons avoir, d'après le théorème I, B = 0.

CAS III. B = C = 0.

L'équation (1), L'équation quadratique : La forme typique, devient alors :

Les racines sont donc toutes deux égales à zéro, puisque cette équation exige que x2 = 0, le coefficient A étant, par hypothèse, toujours différent de zéro.

Cas où les racines d'une équation quadratique ne sont pas indépendantes

Si une relation existe entre les racines x¹ et x² de la forme typique :

alors cette relation impose une condition sur les coefficients A, B et C, étant exprimée par une équation impliquant ces constantes.

Par exemple, si les racines sont égales, c'est-à-dire si x¹ = x², alors B² -4 AC = 0, d'après le théorème II, L'équation quadratique : La forme typique.

De nouveau, si une racine est zéro, alors x¹x² = 0 ; donc C = 0, d'après le théorème I, L'équation quadratique : La forme typique.

Cette correspondance peut être énoncée en colonnes parallèles ainsi :

Dans de nombreux problèmes, les coefficients comportent une ou plusieurs constantes arbitraires, et il est souvent nécessaire de trouver l'équation de condition satisfaite par ces dernières lorsqu'une relation donnée existe entre les racines. Plusieurs exemples de ce genre vont maintenant être élaborés.

Exemple 1. Quelle doit être la valeur du paramètre k si zéro est une racine de l'équation :

Solution. Ici A = 2, B = -6, C = k² - 3 k - 4. D'après le cas I, Équations quadratiques spéciales, zéro est une racine lorsque, et seulement lorsque, C = 0.

Résoudre :

Exemple 2. Pour quelles valeurs de k sont les racines de l'équation :

réel et égal ?

Solution. En écrivant l'équation sous la forme typique, on a :

Par conséquent, dans ce cas :

En calculant le discriminant Δ, on obtient :

D'après le théorème II, L'équation quadratique : La forme typique, les racines sont réelles et égales lorsque, et seulement lorsque, Δ = 0.

Résoudre :

En vérifiant en substituant ces réponses dans l'équation donnée (2) :

• lorsque k=-2, l'équation (2) devient -2 x² -8x-8=0, ou -2(x-2)²=0;
• lorsque k= 1, l'équation (2) devient x² -2x + 1=0, ou (x - 1) ² =0.

Par conséquent, pour ces valeurs de k, le membre de gauche de (2) peut être transformé comme dans (7), L'équation quadratique : La forme typique.

Exemple 3. Quelle équation de condition doit être satisfaite par les constantes a, b, k et m si les racines de l'équation :

Solution. L'équation (3) est déjà sous la forme typique ; par conséquent :

D'après le théorème II, L'équation quadratique : La forme typique, le discriminant Δ doit s'annuler ; d'où :

Multiplier et réduire :

Exemple 4. Pour quelles valeurs de k les solutions communes des équations simultanées :

deviennent identiques ?

Solution. En résolvant (4) pour y, nous avons :

En remplaçant dans (5) et en arrangeant dans la forme typique, on obtient :

Soit les racines de (7) x₁ et x₂. Ensuite, en remplaçant dans (6), on obtient les valeurs correspondantes y₁ et y₂ de y, à savoir :

et nous aurons deux solutions communes (x₁, y₁) et (x₂, y₂) de (4) et (5). Mais, par la condition du problème, ces solutions doivent être identiques. Nous devons donc avoir :

Si, toutefois, la première de ces affirmations est vraie (x₁ = x₂), alors d'après (8) y₁ et y₂ seront également égaux.

Par conséquent, les deux solutions courantes de (4) et (5) deviennent identiques lorsque, et seulement lorsque, les racines de l'équation (7) sont égales, c'est-à-dire lorsque le discriminant A de (7) s'annule (Théorème II, L'équation quadratique : La forme typique).

Résoudre :

Vérification. En remplaçant chaque valeur de k dans (7) :

• quand k = 25, l'équation (7) devient x² - 6x + 9=0, ou (x-3)² =0; ∴ x=3;
• quand k= -25, l'équation (7) devient x² + 6x + 9=0, ou (x+3)² =0 ; ∴ x= -3.

Ensuite, à partir de (6), en remplaçant les valeurs correspondantes de k et x :

• lorsque k = 25 et x = 3, nous avons y = ¼(25 - 9)=4 ;
• lorsque k = 25 et x = 3, nous avons y = ¼(25 + 9)=4.

Par conséquent, les deux solutions communes de (4) et (5) sont identiques pour chacune de ces valeurs de k, à savoir :

• si k = 25, les solutions communes se réduisent à x = 3, y = 4;
• si k = -25, les solutions communes se réduisent à x = - 3, y = - 4.

Les variables

Une variable est une quantité à laquelle, dans la même recherche, on peut attribuer un nombre illimité de valeurs. Dans un problème particulier, la variable peut, en général, prendre n'importe quelle valeur dans certaines limites imposées par la nature du problème. Il est commode d'indiquer ces limites par des inégalités.

Par exemple, si la variable x peut prendre n'importe quelle valeur entre 2 et 5, c'est-à-dire si x doit être supérieur* à 2 et inférieur à 5, les inégalités simultanées :

sont écrits sous la forme la plus compacte :

De même, si les conditions du problème limitent les valeurs de la variable x à tout nombre négatif inférieur ou égal à 2, et à tout nombre positif supérieur ou égal à 5, les conditions :

sont abrégés en :

Écrivez des inégalités pour exprimer que la variable :

• x a une valeur comprise entre 0 et 5 inclus.
• y a une valeur inférieure à -2 ou supérieure à -1.
• x a une valeur non inférieure à -8 ni supérieure à 2.

Équations à plusieurs variables

En géométrie analytique, nous nous intéressons principalement aux équations à deux ou plusieurs variables.

On dit qu'une équation est satisfaite par un ensemble donné de valeurs des variables si l'équation se réduit à une égalité numérique lorsque ces valeurs sont substituées aux variables.

Par exemple, x = 2, y = 3 satisfont l'équation :

depuis :

De même, x = -1, y = 0, z = -4 satisfont l'équation :

depuis :

La signification de plus grand et moins pour les nombres réels (§ 1) est définie comme suit : a est plus grand que b lorsque a - b est un nombre positif, et a est plus petit que b lorsque a - b est négatif. Par conséquent, tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif ; et si a et b sont tous deux négatifs, alors a est plus grand que b lorsque la valeur numérique de a est inférieure à la valeur numérique de b.

Ainsi 3 < 5, mais - 3 > - 5. Par conséquent, changer de signe tout au long d'une inégalité inverse le signe de l'inégalité.

Une équation est dite algébrique en un nombre quelconque de variables, par exemple x, y, z, si elle peut être transformée en une équation dont chacun des membres est une somme de termes de la forme ax^myⁿz^p, où a est une constante et m, n, p sont des entiers positifs ou zéro.

Ainsi les équations :

sont algébriques. L'équation :

est algébrique.

En élevant au carré, on obtient x + 2x½y½ + y=a.

En transposant, 2x½y½ = a - x - y.

En élevant au carré, 4 xy = a² + x² + y² - 2ax - 2 ay + 2 xy.

En transposant, x² + y² - 2 xy - 2 ax + 2 ay + a² = 0.

Le degré d'une équation algébrique est égal au degré le plus élevé de chacun de ses termes. On dit qu'une équation algébrique est arrangée par rapport aux variables lorsque tous ses termes sont transposés vers la gauche et écrits dans l'ordre des degrés décroissants.

Par exemple, pour arranger l'équation :

par rapport aux variables x', y', on transpose et réécrit les termes dans l'ordre :

Cette équation est du troisième degré.

Une équation n'étant pas algébrique est dite transcendante.

Des exemples d'équations transcendantes sont :

Fonctions d'un angle dans un triangle rectangle. Dans tout triangle rectangle dont l'un des angles aigus est A, les fonctions de A sont définies comme suit :

De ce qui précède, le théorème se déduit facilement : dans un triangle rectangle, un côté est égal au produit de l'hypoténuse et du sinus de l'angle opposé à ce côté, ou de l'hypoténuse et du cosinus de l'angle adjacent à ce côté.

Angles en général

En trigonométrie, un angle X OA est considéré comme généré par la rotation de la ligne OA à partir d'une position initiale OX. L'angle est positif lorsque OA tourne à partir de OX dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et négatif lorsque le sens de rotation de OA est dans le sens des aiguilles d'une montre.

La ligne fixe OX est appelée ligne initiale, la ligne OA ligne terminale.

Mesure des angles : Il existe deux méthodes importantes de mesure de la grandeur angulaire, c'est-à-dire qu'il existe deux angles unitaires.

Mesure en degrés  L'angle unitaire est égal à 1/360 d'une révolution complète et s'appelle un degré.

Mesure circulaire : L'angle unitaire est un angle dont l'arc sous-jacent est égal au rayon de cet arc et s'appelle un radian. La relation fondamentale entre les angles unitaires est donnée par l'équation :

Ou encore, en résolvant ceci :

Ces équations nous permettent de passer d'une mesure à une autre.

La ligne génératrice est conçue comme tournant sur elle-même en effectuant autant de révolutions que nous le souhaitons. D'où le résultat important : tout nombre réel est la mesure circulaire d'un certain angle, et inversement, tout angle est mesuré par un nombre réel.

Formules et théorèmes de la trigonométrie

La trigonométrie repose sur un ensemble de formules et de théorèmes fondamentaux permettant d'étudier les relations entre les angles et les longueurs des triangles. Parmi les formules essentielles, on trouve les identités trigonométriques comme sin²(x)+cos²(x)=1, découlant directement du théorème de Pythagore appliqué à un triangle rectangle. De même, les formules de double angle et de moitié d'angle, telles que sin(2x)=2 sin(x)cos(x), permettent de simplifier des calculs complexes en transformant des expressions trigonométriques. Ces formules sont essentielles en analyse mathématique, en physique et en ingénierie, où elles servent à modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes et les vibrations.

Les théorèmes de trigonométrie permettent de résoudre des triangles et d'établir des relations entre leurs éléments. Le théorème des sinus, donné par a / sin(A)= b sin(B)=c sin(C), s'applique aux triangles quelconques et est particulièrement utile en géométrie plane et en navigation. Il est complété par le théorème des cosinus, qui généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles : c²=a²+b²-2ab cos(C). Ces théorèmes sont utilisés dans des domaines comme la cartographie, l'astronomie et l'architecture, où la mesure des distances et des angles est essentielle pour des calculs précis.

Les formules trigonométriques permettent aussi de résoudre des équations trigonométriques et de modéliser des phénomènes cycliques. Par exemple, les formules de somme et de différence des angles, telles que sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B), sont cruciales pour l'étude des oscillations et des ondes. En analyse de Fourier, ces identités sont utilisées pour décomposer des signaux en séries trigonométriques, facilitant le traitement du son, des images et des données numériques. Grâce à ces outils mathématiques puissants, la trigonométrie s'impose comme une discipline incontournable dans la science moderne et la technologie.

• cot x = 1 / tan x; sec x = 1 / cos x; csc x = sin x
• tan x = sin x / cos x; cot x = cos x / sin x
• sin²x + cos²x = 1; 1 + tan²x = sec²x; 1 + cot²x = csc²x
• sin(-x) = -sin x; csc(-z) = -csc x;
  cos(-x) = cos x; sec(-x) = sec x;
  tan(-x) = -tan x; cot(-x) = -cot x
• sin (π - x) = sin x ; sin (π + x) = -sin x;
  cos(π - x) = - cos x; cos(π + x) = - cos x;
  tan(π x) = - tan x; tan(π + x) = tan x
• sin((π/2) - x) = cos x; sin(π/2 + x) = cos x;
  cos((π/2)-x) = sin x; cos(π/2 + x)=-sin x;
  tan((π/2)-x)=cot x; tan((π/2) = -cot x
• sin(2 π x) = sin(x) = sin x,...
• sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.
• sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y.
• cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y.
• cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y.
• tan(x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y)
• tan(x - y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x tan y)
• sin 2 x = 2 sin x cos x ; cos²x = cos ²x - sin² x ; tan 2 x = (2 tan x)/(1 - tan ²x)
• sin x/2 = ± √ (1 - cos x)/2; cos x/2 = ± √ (1 + cos x)/2; tan x/2 = ± √ (1 - cos x)/(1 + cos x)
• Théorème : Loi des sinus. Dans tout triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés ; c'est-à-dire :

a / sin A = b / sin B = c / sin C



• Théorème : Loi des cosinus. Dans tout triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminuée du double du produit de ces côtés par le cosinus de leur angle compris ; c'est-à-dire :

  a2 = b2 + c2 2 bc cos A

  
  
• Théorème : Aire d'un triangle. L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux côtés par le sinus de leur angle compris ; c'est-à-dire :

région = ½ ab sin C = ½ bc sin A = ½ ca sin B.

Valeurs naturelles des fonctions trigonométriques

Règles pour les signes

Alphabet grec

L'alphabet grec joue un rôle fondamental dans l'algèbre et la trigonométrie, servant à désigner des constantes, des variables et des angles. En algèbre, des lettres comme alpha (α) et beta (Β) sont souvent utilisées pour représenter des inconnues ou des coefficients dans des équations. D'autres lettres, comme pi (π), symbolisent des valeurs spécifiques, notamment le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle. En analyse mathématique, epsilon (ε) représente généralement une quantité arbitrairement petite, essentielle dans la définition des limites et des dérivées. Ces conventions permettent d'uniformiser l'écriture mathématique et de faciliter la communication entre scientifiques et ingénieurs.

En trigonométrie, l'alphabet grec est omniprésent pour désigner des angles et des relations trigonométriques. Les lettres theta (θ) et phi (φ) sont couramment utilisées pour représenter des angles dans les formules trigonométriques, telles que celles du cosinus et du sinus. De plus, gamma (γ) intervient fréquemment dans les formules associées aux triangles, comme celles du théorème des sinus et du théorème des cosinus. D'autres lettres, comme rho (ρ), apparaissent en géométrie analytique et en coordonnées polaires, facilitant la représentation de courbes et de figures dans un espace bidimensionnel. Cette utilisation permet de généraliser les concepts et de les appliquer à divers domaines scientifiques.

L'alphabet grec est aussi présent dans des domaines avancés des mathématiques, notamment en algèbre linéaire, en statistique et en physique mathématique. Par exemple, lambda (λ) est utilisé pour représenter les valeurs propres dans les matrices, tandis que sigma (σ) est employé pour la somme de séries ou l'écart-type en statistique. En mathématiques appliquées, des symboles comme omega (ω) apparaissent dans les fonctions périodiques, en particulier pour les fréquences en analyse de Fourier. Grâce à cette notation standardisée, les mathématiciens et les scientifiques du monde entier peuvent collaborer et développer de nouvelles théories avec une notation universellement reconnue.