Introduction

Les algorithmes de calcul matriciel et d'algèbre linéaire sont un ensemble de méthodes et techniques utilisées pour manipuler des matrices et résoudre des systèmes d'équations linéaires. Ces algorithmes sont essentiels dans de nombreux domaines comme la physique, l'informatique, les sciences de l'ingénieur, l'économie, et le traitement de données. L'algèbre linéaire se concentre sur les opérations entre vecteurs et matrices, les transformations linéaires, et l'analyse des structures linéaires.

Voici les principales opérations et concepts de calcul matriciel :

• Multiplication de matrices : Objectif : Effectuer le produit entre deux matrices, étant fondamental dans de nombreuses applications, notamment pour représenter des transformations en géométrie ou en apprentissage automatique. Exemple : Produit de deux matrices A et B pour obtenir une matrice C=A x B.
• Inverse et déterminant de matrice :
• Inverse : La matrice inverse A-1 d'une matrice AA est utilisée pour résoudre des équations linéaires sous la forme A x X = B, où X = A?1 x B.
• Déterminant : Le déterminant d'une matrice est une valeur scalaire qui indique si la matrice est inversible et renseigne sur certaines propriétés géométriques.
• Décomposition matricielle :
• Décomposition LU : Divise une matrice A en un produit de deux matrices triangulaires (L pour triangulaire inférieure, et U pour triangulaire supérieure), simplifiant ainsi la résolution de systèmes linéaires.
• Décomposition QR : Sépare A en une matrice orthogonale Q et une matrice triangulaire supérieure R. Elle est couramment utilisée dans les méthodes de calcul de valeurs propres.
• Décomposition en valeurs singulières (SVD) : Représente A sous la forme UΣVT, où U et V sont orthogonales et Σ est diagonale. La SVD est cruciale pour la compression d'images, la réduction de dimensions, et le traitement de données.
• Calcul de valeurs propres et vecteurs propres : Objectif : Trouver les valeurs propres (scalaires) et vecteurs propres (vecteurs) d'une matrice, jouant un rôle fondamental en analyse des systèmes dynamiques et en mécanique. Exemples de méthodes : Méthode de la puissance itérée, décomposition de Jacobi, et décomposition QR.
• Méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires :
• Méthode de Gauss : Réduit une matrice en forme échelonnée pour trouver les solutions d'un système d'équations linéaires.
• Méthode de Gauss-Seidel et méthode de Jacobi : Méthodes itératives pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, souvent utilisées pour de grandes matrices éparses.
• Méthode de la décomposition LU : Utilisée pour décomposer une matrice en facteurs qui simplifient le calcul des solutions des systèmes d'équations.

Multiplication de matrices

Voici un exemple de pseudo-code pour la multiplication de deux matrices A (de taille m x n) et B (de taille n x p) pour produire une matrice C (de taille m x p) :

Méthode de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires

Cette méthode consiste à transformer un système d'équations sous forme échelonnée, permettant d'isoler chaque variable.

Applications

Les algorithmes de calcul matriciel et d'algèbre linéaire sont omniprésents dans les applications scientifiques et technologiques, notamment pour :

• Simulations physiques : Modélisation de systèmes physiques dans la dynamique des fluides, l'acoustique, et la mécanique.
• Intelligence artificielle et apprentissage automatique : Calculs de poids et transformations dans les réseaux de neurones.
• Traitement d'images et de signal : Compression, filtrage et reconstruction d'images.
• Finance quantitative : Modèles de risque et d'optimisation de portefeuilles utilisant des matrices de covariance.