Introduction
Les algorithmes mathématiques sont des procédures ou ensembles d'instructions utilisées pour résoudre des problèmes numériques ou mathématiques spécifiques. Ils sont fondamentaux en sciences, ingénierie, finance, cryptographie et bien d'autres domaines nécessitant des calculs mathématiques précis. Voici les principales catégories et types d'algorithmes mathématiques :
- Algorithmes de calcul numérique : Ces algorithmes incluent des méthodes pour effectuer des opérations arithmétiques, comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division de nombres. Ils comprennent également des techniques avancées comme les séries de Taylor pour l'approximation des fonctions ou les méthodes de Newton-Raphson pour la recherche de racines d'équations.
- Algorithmes de calcul matriciel et algèbre linéaire : Ces algorithmes servent au traitement et à la manipulation des matrices et vecteurs. Les algorithmes d'inversion de matrices, de décomposition matricielle (comme la décomposition QR ou LU) et de résolution de systèmes d'équations linéaires sont cruciaux pour l'analyse des données, la physique et le traitement d'images.
- Algorithmes mathématiques de géométrie et trigonométrie : Cette catégorie regroupe les algorithmes s'occupant des calculs liés aux angles, aux longueurs de côtés de triangles, aux cercles, et aux formes géométriques en général. Ils sont souvent utilisés pour des applications impliquant des figures géométriques et des mouvements dans l'espace, en sciences de l'ingénierie, en graphisme informatique, en physique, et en astronomie.
- Algorithmes de théorie des nombres : Ils traitent des opérations sur les nombres entiers et sont importants en cryptographie. Cela inclut des algorithmes comme le test de primalité, le calcul du plus grand commun diviseur (PGCD) (exemple : algorithme d'Euclide) et les méthodes de factorisation de nombres entiers.
- Algorithmes statistiques et probabilistes : Ces algorithmes sont utilisés pour analyser des ensembles de données et modéliser des phénomènes aléatoires. Ils incluent des méthodes comme les tests d'hypothèses, les modèles de régression, les algorithmes de Monte-Carlo pour les simulations stochastiques, et les méthodes d'apprentissage automatique.
- Algorithmes de calcul scientifique et d'optimisation : Ces algorithmes servent à résoudre des problèmes de minimisation ou maximisation de fonctions, souvent avec des contraintes. Les méthodes incluent l'algorithme du simplexe pour la programmation linéaire, les algorithmes génétiques pour les problèmes complexes, et les descentes de gradient pour l'optimisation dans les réseaux neuronaux.
Voici différents algorithmes en lien avec les mathématiques, comme : Binomiale, Djikstra, LOI.BINOMIALE, MiniMax, Moyenne arithmétique, valeur absolue,...
Valeur absolue
L'algorithme de valeur absolue est l'un des algorithme les plus simples existant. Il permet de retourner une valeur sans son signe, il est ainsi toujours positif.
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MODULE ABS(valeur) SI valeur < 0 ALORS RETOURNE - valeur SINON RETOURNE valeur FIN SI |
Binomiale
Ce mot désigne la formule mathématique de statistique permettant le calcul de la Binomiale dont voici l'algorithme:
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MODULE Binomiale ( valeur N, valeur K ) SI K < 0 ALORS Retourner 0,0 SINON SI ( K = 0 ) ou ( K = N ) ALORS Retourner 1,0 SINON SI ( K = 1 ) ou ( K = N – 1 ) ALORS Retourner N SINON SI K > N – K ALORS K ← N – K FIN SI Produit ← N BOUCLE POUR I ← 2 JUSQU'A K Produit ← Produit x ( [ (N + 1) - I ] / [ I ] ) FIN BOUCLE POUR Retourner [ 0,5 + Produit ] FIN SI FIN SI FIN SI |
Djikstra
Algorithme de programmation de type glouton permettant de traiter les sommets. Le voici:
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BOUCLE POUR I ← 1 JUSQU'A N - 2 S ← Extraire Minimum ( C ) POUR tous les sommets ( de C ) reliés à s * Pour toutes les arêtes partant de s SI nécessaire ALORS Mettre à jour ( Distances, Parcours ) FIN SI FIN BOUCLE POUR |
LOI.BINOMIALE
Il s'agit d'une formule mathématique de statistiques utiliser dans les applications Excel ou StarOffice. Celle-ci renvoie la probabilité qu'une variable aléatoire correspondant à la loi binomiale. Voici son algorithme:
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MODULE LOI.BINOMIALE(valeur K, valeur Tirage, valeur P, valeur Cumulative) SI ( P < 0,0 ) ou ( P > 1,0 ) ou ( Tirage ≤ 0 ) ou ( Tirage < K ) ALORS Retourne Erreur de domaine SINON SI Cumulative ALORS SI K = 0 ALORS Retourne (1,0 - P ) Tirage SINON SI K = N ALORS Retourne 1,0 SINON Retourne 1,0 - IBeta ( K + 1, Tirage - K, P) FIN SI FIN SI SINON SI K = 0 ALORS Retourne (1,0 - P ) Tirage SINON SI K = N ALORS Retourne PTirage SINON Retourne Binomiale ( Tirage, K ) x PK x 1,0 - P Tirage -K FIN SI FIN SI FIN SI FIN SI |
MiniMax
On entend par «MiniMax» un algorithme récursif devant permettre de trouver un maximum et le maximum dans un arbre de jeu. Voici l'algorithme associée:
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MODULE Minimax ( p ) SI p est terminal ALORS Retourner f(p) SINON Soient p1,....,pd ses successeurs FIN SI SI p est un noeud où on maximise ALORS Retourner Max(Minimax(p1),...,Minimax(pd)) SINON Retourner Min(Minimax(p1),...,Minimax(pd)) FIN SI |
Moyenne arithmétique
La moyenne est algorithme permettant de connaître la valeur milieu d'un tableau ou d'une séquence numérique. Voici donc comment on pourrait programmer la formule pour obtenir se résultat:
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MODULE Moyenne ( référence Élément, valeur Nombre Élément) Somme ← 0 BOUCLE POUR I ← 1 JUSQU'A Nombre Élément Somme ← Somme + Élément [ I ] FIN BOUCLE POUR Retourne Somme / Nombre Élément |
ODD
Ce mot permet d'indiquer une fonction de nombre impaire. Voici son algorithme :
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MODULE ODD(X) RETOURNE X ∩ 1 = 1 |
Pourcentage
Ce mot de statistique permet d'indiquer une quantité de complété ou de réussis sur une base de 100. Voici son algorithme :
| Pourcentage ← (Réussi/Total) x 100 |
Puissance
Ce mot permet d'indiquer la fonction de la puissance. Voici son algorithme :
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MODULE POW(a,b) p ← 1 BOUCLE POUR i ← 1 JUSQU'A b p ← p x a FIN BOUCLE POUR RETOURNE p |
Racine carré
Cette expression permet d'indiquer la fonction de la racine carré. Voici son algorithme :
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MODULE SQRT(X) SI X = 0.0 ALORS RETOURNE 0.0 SINON M ← 1.0 XN ← X BOUCLE FAIRE TANT QUE XN >= 2.0 XN ← 0.25 x XN M ← 2.0 x M FIN BOUCLE FAIRE TANT QUE BOUCLE FAIRE TANT QUE XN < 0.5 XN ← 4.0 x XN M ← 0.5 x M FIN BOUCLE FAIRE TANT QUE A ← XN B ← 1.0 - XN BOUCLE REPETER A ← A x (1.0 + 0.5 x B) B ← 0.25 x (3.0 + B) x B x B FIN BOUCLE JUSQU'A B ← 1.0E - 15 RETOURNE A x M FIN SI |