Introduction

Les algorithmes de fractales sont des méthodes de calcul utilisées pour générer des motifs auto-similaires et infiniment détaillés, couramment associés à des formes géométriques complexes qui apparaissent identiques à différents niveaux d'échelle. Ces algorithmes jouent un rôle important dans plusieurs domaines, notamment en mathématiques, en infographie, en physique et en modélisation des phénomènes naturels (comme les montagnes, les nuages ou les arbres), car ils permettent de simuler des structures naturelles avec une grande précision.

Parmi les algorithmes de fractales les plus connus, on trouve l'algorithme de Mandelbrot, générant l'ensemble de Mandelbrot en utilisant des itérations de nombres complexes. Ce processus aboutit à une forme auto-similaire caractéristique lorsqu'elle est visualisée, avec une symétrie qui persiste même en zoomant sur des parties minuscules de la fractale. Cet algorithme utilise des équations simples, mais qui, répétées de nombreuses fois, créent des motifs extrêmement complexes.

L'algorithme de Julia est un autre exemple célèbre dans le monde des fractales. Il fonctionne de manière similaire à celui de Mandelbrot, mais diffère dans les valeurs de constantes qu'il utilise, créant des ensembles de Julia, qui sont eux aussi des fractales complexes aux motifs variés. Les ensembles de Julia partagent des propriétés auto-similaires, mais produisent des formes différentes selon les paramètres d'entrée, permettant une variété de visuels et d'effets en infographie.

Les fractales sont également générées par des algorithmes basés sur la réécriture récursive, comme le triangle de Sierpinski et le flocon de Koch. Ces algorithmes partent d'une forme simple et appliquent des règles de transformation répétitives pour créer des motifs de plus en plus complexes. Ces approches récursives sont simples en termes de code, mais elles illustrent la puissance des fractales à partir de règles basiques.

En résumé, les algorithmes de fractales sont utilisés pour produire des motifs infiniment détaillés et auto-similaires à partir de formules mathématiques répétitives. Ils sont appliqués dans des domaines variés pour visualiser des phénomènes naturels, dans la modélisation scientifique et pour la création de paysages réalistes en infographie, parmi d'autres utilisations.

Voici une liste des principaux algorithmes de fractales :

• Ensemble de Mandelbrot : L'un des plus célèbres, cet algorithme utilise des nombres complexes et des itérations pour créer des motifs infinis et auto-similaires autour de la forme fractale caractéristique de Mandelbrot.
• Ensembles de Julia : Similaires à l'ensemble de Mandelbrot, les fractales de Julia génèrent des motifs en utilisant des constantes spécifiques dans les équations, produisant une variété de formes complexes.
• Courbe de Koch et Flocon de Koch : Ces fractales utilisent des transformations géométriques itératives partant d'une simple ligne et forment des motifs ressemblant à des flocons de neige en ajoutant des segments à chaque étape de la transformation.
• Triangle de Sierpinski : Cet algorithme divise un triangle en sous-triangles de manière récursive, formant un motif fractal de trous répétitifs, commun dans les mathématiques de la géométrie fractale.
• Courbe de Peano et Courbe de Hilbert : Utilisées pour remplir l'espace, ces fractales suivent un chemin qui passe par chaque point d'une grille sans intersections et sont utiles pour la visualisation de structures de données.
• Fractales Browniennes : Ces algorithmes génèrent des motifs basés sur des mouvements aléatoires ou chaotiques, souvent utilisés pour simuler des formes naturelles telles que les côtes, les montagnes et les surfaces rugueuses.
• Ensemble de Cantor : Cet ensemble crée une fractale en supprimant une partie centrale d'un segment de ligne de manière récursive, produisant une structure auto-similaire discontinue.
• Dragon de Heighway : Cette fractale est obtenue en pliant un segment de ligne de manière récursive pour former un motif complexe et symétrique.
• Arbre fractal : Ce type de fractale est formé en divisant une branche en sous-branches plus petites, utilisé pour modéliser la croissance des arbres et autres structures naturelles arborescentes.
• Système de fonctions itérées (IFS) : Utilisés pour générer des fractales comme le fougère de Barnsley, ces systèmes appliquent des transformations géométriques répétitives pour produire des motifs biologiques et naturels.
• Fractales de L-système : Ces algorithmes utilisent une grammaire formelle et des règles de production pour modéliser des formes naturelles comme les plantes et les coraux.
• Fractales en 3D (par exemple le Bulbe de Mandelbrot) : Ces algorithmes étendent les équations fractales dans un espace tridimensionnel pour produire des motifs en volume, tels que le Bulbe de Mandelbrot en 3D.

Voici différents algorithmes en lien avec les fractals, comme par Chris Green de Halley, la Daisy, le Dragon,...

Chris Green de Halley

La formule de Halley à la manière Chris Green est utilisé afin de créer un effet fractal. Voici donc son algorithme :

Daisy

L'algorithme de Daisy est utilisé afin de créer un effet fractal. Voici donc son algorithme :

Dragon

L'algorithme de dragon est utilisé afin de créer un effet fractal. Voici donc son algorithme :